Integration

 

In Maple

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inputs outputs

    int( x^2 * (a+b*x)^p, x);

                    3          p                2              p
                   a  (a + b x)                a  p x (a + b x)
           2 ------------------------- - 2 -------------------------
              3   3      2                  2   3      2
             b  (p  + 6 p  + 11 p + 6)     b  (p  + 6 p  + 11 p + 6)

                       2          p    3          p
                  p a x  (a + b x)    x  (a + b x)
                + ----------------- + -------------
                       2                  p + 3
                   b (p  + 5 p + 6)

    simplify( " );

             p   2    2  2    3  3  2        2  2      2            3  3
    (a + b x)  (p  a x  b  + x  b  p  + p a x  b  - 2 a  p x b + 3 x  b  p

              3      3  3    /                           3
         + 2 a  + 2 x  b )  /  ((p + 3) (p + 2) (p + 1) b )
                           /

    int( x^2* log(x^2 + a^2), x);

               3     2    2         2          3        3
          1/3 x  ln(x  + a ) + 2/3 a  x - 2/9 x  - 2/3 a  arctan(x/a)

    int( x* d^x * sin(x), x );

         x           2             2       x
      x d  tan(1/2 x)    (- 2 ln(d)  + 2) d  tan(1/2 x)
     (---------------- + ------------------------------
              2                         2     2
         ln(d)  + 1               (ln(d)  + 1)

                       x                       x           2         x
              ln(d) x d  tan(1/2 x)     ln(d) d  tan(1/2 x)       x d
          + 2 --------------------- - 2 -------------------- - ----------
                         2                        2     2           2
                    ln(d)  + 1              (ln(d)  + 1)       ln(d)  + 1

                        x
                 ln(d) d       /                2
          + 2 -------------)  /  (1 + tan(1/2 x) )
                    2     2  /
              (ln(d)  + 1)

    simplify( " );

                                              2
          - (- 2 ln(d) cos(x) + x cos(x) ln(d)  + x cos(x) - sin(x)

                      3                                         2   x
               - ln(d)  x sin(x) - ln(d) x sin(x) + sin(x) ln(d) ) d

                 /       4          2
                /  (ln(d)  + 2 ln(d)  + 1)
               /

    int( x* sqrt(a + b*x)^p, x );

                              /
                             |              1/2 p
                             |  x ((a + b x)   )  dx
                             |
                            /

    int( 2*x* exp(x^2)* log(x)+ exp(x^2)/x + (log(x)-2)/(log(x)^2+x)^2 \
        + ((2/x)* log(x)+ (1/x)+1)/ (log(x)^2+x), x );

                       2             ln(x)             2
                  exp(x ) ln(x) - ---------- + ln(ln(x)  + x)
                                       2
                                  ln(x)  + x