Gauss-Seidelova metoda

Gauss-Seidelova metoda je podobná Jacobiho metodě, ale na rozdíl od ní používá při výpočtu složek vektoru $x_i^{(k+1)}$ již dříve vypočtené složky $k+1$ iterace. Iterace je dána vztahem

$$x_i^{(k+1)} = - \frac{a_{i1}}{a_{ii}} x_1^{(k+1)} - \dots - ... ...- \dots - \frac{a_{in}}{a_{ii}} x_n^{(k)} - \frac{b_i}{a_{ii}}$$

Vztah lze zapsat vektorově

$$\vec{x}^{(k+1)} = - ({\bf D} + {\bf L})^{-1} {\bf R} \vec{x}^{(k)} + ({\bf D} + {\bf L})^{-1} \vec{b}$$

Věta Pro konvergenci Gauss-Seidelovy metody stačí, když platí libovolná z následujících podmínek:

1. ${\bf A}$ je diagonálně dominantní matice.
2. ${\bf A}$ je symetrická pozitivně definitní matice.